Question

2．已知拋物線M：y=x²，圓N：x²+（y-2）²=1．
（1）過點(diǎn)A（1，1）作圓N的切線交拋物線M于點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A（a，a²）（a≠±1）作圓N的兩條切線AB，AC交拋物線M于點(diǎn)B，C，連接BC，判斷直線BC與圓N的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）分類討論，求出切線方程，即可求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過點(diǎn)A（a，a²）（a≠±1）的直線為y=k（x-a）+a²，代入拋物線方程y=x²得另一個根，由相切知k²（a²-1）-2ka（a²-2）+（a²-2）²-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系能導(dǎo)出直線BC的方程，由此知直線BC與圓N相切．

解答 解：（1）圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N（0，2），半徑為1，
當(dāng)切線的斜率不存在，即過A的方程為x=1，滿足圓心到直線的距離為1，即相切，
與拋物線無交點(diǎn)；
當(dāng)切線的斜率為0，即方程為y=1，可得圓心到直線的距離為1，即相切，
可得B（-1，1）；
（2）設(shè)過點(diǎn)A（a，a²）（a≠±1）的直線為y=k（x-a）+a²，
把直線方程y=k（x-a）+a²代入拋物線方程y=x²．
得x²-kx+ka-a²=0，
可得另一個根為x'=k-a，
由相切知$\frac{|-ka+{a}^{2}-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
化簡可得k²（a²-1）-2ka（a²-2）+（a²-2）²-1=0，
設(shè)k₁，k₂是方程的兩個根，則k₁+k₂=$\frac{2a（{a}^{2}-2）}{{a}^{2}-1}$，k₁k₂=$\frac{（{a}^{2}-2）^{2}-1}{{a}^{2}-1}$，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），k₁+k₂=x₁+a+x₂+a，k₁k₂=（x₁+a）（x₂+a），
直線BC的方程為y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，即2ax+（a²-1）y-a²+3=0，
圓心（0，2）到直線的距離d=$\frac{|{a}^{2}+1|}{\sqrt{4{a}^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}}$=1，
由此知直線BC與圓N相切．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要注意公式的合理運(yùn)用