Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=min{xlnx，$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$}（min{a，b}表示a，b中的較小者），則函數(shù)f（x）的最大值為（　　）

• A． $\frac{4}{{e}^{2}}$
• B． 2ln2
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $\frac{3}{2}$ln2

Answer 1

分析 先求出xlnx=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得零點為x₀∈（1，2），根據(jù)新定義，再利用導(dǎo)數(shù)分別求出每段上的最大值，比較即可．

解答 解：令xlnx=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
則lnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=lnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
∴g（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，g（2）=ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，2）上存在零點，
設(shè)零點為x₀，
分別畫出y=xlnx，與y=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$的圖象，
結(jié)合圖象可得，
當(dāng)x＜x₀時，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，
當(dāng)f′（x）＞0時，解得$\frac{1}{e}$＜x≤x₀，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（x₀）=x₀lnx₀，
當(dāng)x＞x₀時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$
當(dāng)f′（x）＞0時，解得x₀＜x≤2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，解得x＞2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∵x₀lnx₀=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{e}^{{x}_{0}}}$＜$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∴函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故選：A

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值問題，以及函數(shù)零點的問題，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．