【題目】已知函數(shù)， ，其中是自然常數(shù).

(1)判斷函數(shù)在內零點的個數(shù)，并說明理由；

(2) ， ，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導， ，得到函數(shù)在上單調遞增，根據(jù)零點存在定理得到函數(shù)存在一個零點；（2）不等式等價于，即，對兩邊的函數(shù)分別求導研究單調性，求得最值得到取得最大值， 取得最小值，故只需要,解出即可.

解析：

(1)函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1，理由如下：

因為，所以，

因為，所以，所以函數(shù)在上單調遞增.

因為， ，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得函數(shù)在上存在1個零點.

(2)因為不等式等價于，

所以， ，使得不等式成立，等價于

，即，

當時， ，故在區(qū)間上單調遞增，

所以當時， 取得最小值，又，

當時， ， ， ，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.

因此，當時， 取得最大值，所以，所以，

所以實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
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（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．

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