Question

【題目】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直線(xiàn)AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析

（Ⅱ）

【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）找出直線(xiàn)AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.

方法二：（Ⅰ）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量之積為0得出,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）根據(jù)方程組解出平面的一個(gè)法向量，然后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線(xiàn)面角與向量夾角的互余關(guān)系求解.

詳解：方法一：

（Ⅰ）由得，

所以.

故.

由， 得，

由得，

由，得，所以，故.

因此平面.

（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連結(jié).

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角.學(xué)科.網(wǎng)

由得，

所以，故.

因此，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值是.

方法二：

（Ⅰ）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

因此

由得.

由得.

所以平面.

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為.

由（Ⅰ）可知

設(shè)平面的法向量.

由即可取.

所以.

因此，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值是.