Question

對于n∈N^*，求證：1+

1

2

+…+

1

n

≥eln（n+1）-n．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：先證明n=1時，原不等式成立，再假設n=k時，不等式成立，即1+

1

2

+…+

1

k

≥eln（k+1）-k，進而證明出n=k+1時不等式也成立．

解答： 證明：（�。┊攏=1時，原不等式成立；
（ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，即1+

1

2

+…+

1

k

≥eln（k+1）-k，
則當n=k+1時，1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

≥eln（k+1）-k+

1

k+1

，
證明eln（k+1）-k+

1

k+1

≥eln（k+2）-k-1，
即證明eln

k+1

k+2

≥-

k+2

k+1

成立，
即證明eln

k+2

k+1

≤

k+2

k+1

成立，
令x=

k+2

k+1

，即證

lnx

x

≤

1

e

（x＞1），
可構造函數(shù)f（x）=

lnx

x

（x＞1），則f′（x）=

1-lnx

x2

，
∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0
∴

lnx

x

≤

1

e

，即當n=k+1時，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對一切正整數(shù)n，不等式都成立．

點評：數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質(zhì)，其步驟為：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．