Question

已知實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b的雙曲線S的焦點(diǎn)在x軸上，直線y=-

3

x，|

OA

|²+|

OB

|²=

4

3

|

OA

|²•|

OB

|²
是雙曲線S的一條漸近線，而且原點(diǎn)O，點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（0，-b）使等式成立．
（Ⅰ）求雙曲線S的方程；
（Ⅱ）若雙曲線S上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+4對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，由漸近線方程，可得b=

3

a，由|

OA

|²+|

OB

|²=

4

3

|

OA

|²•|

OB

|²則a²+b²=

4

3

a²b²，解出a²，b²，即可得到雙曲線方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N為S上關(guān)于直線l：y=kx+4對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)MN：x+ky+n=0，則聯(lián)立雙曲線方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意判別式大于0，由中點(diǎn)在已知直線上，得到n=

1-3k2

k

，再代入判別式化簡(jiǎn)整理，即可解出k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由直線y=-

3

x是一條漸近線方程，則b=

3

a，
又|

OA

|²+|

OB

|²=

4

3

|

OA

|²•|

OB

|²
則a²+b²=

4

3

a²b²，
解得a²=1，b²=3，
故雙曲線S的方程是x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）由雙曲線S上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+4對(duì)稱，則k≠0，
設(shè)M，N為S上關(guān)于直線l：y=kx+4對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)MN：x+ky+n=0，
則聯(lián)立雙曲線方程，消去x，得（3k²-1）y²+6kny+3n²-3=0，
y₁+y₂=

6kn

1-3k2

，y₁y₂=

3n2-3

3k2-1

，且3k²-1≠0，
△=36k²n²-4（3n²-3）（3k²-1）＞0，
即k²≠

1

3

，n²+3k²＞1①，
則M，N的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

y1+y2

2

=

3kn

1-3k2

，
橫坐標(biāo)為-k•

3kn

1-3k2

-n=

n

3k2-1

，
又中點(diǎn)在直線l上，即有

3kn

1-3k2

=k•

n

3k2-1

+4，
化簡(jiǎn)得kn+3k²-1=0，即n=

1-3k2

k

，
代入①得（

1-3k2

k

）²+3k²＞1，
化簡(jiǎn)整理得，12k⁴-7k²+1＞0，
即有k²＞

1

3

或k²＜

1

4

，即k＞

3

3

或k＜-

3

3

或-

1

2

＜k＜

1

2

，且k≠0，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

3

3

）∪（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

）∪（

3

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意判別式大于0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．