Question

【題目】如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，平面α過點A1 ， B1 ， 且CC1∥平面α，平面α與三棱臺的面相交，交線圍成一個四邊形．
（Ⅰ）在圖中畫出這個四邊形，并指出是何種四邊形（不必說明畫法、不必說明四邊形的形狀）；
（Ⅱ）若AB=8，BC=2B1C1=6，AB⊥BC，BB1=CC1 ， 平面BB1C1C⊥平面ABC，二面角B1﹣AB﹣C等于60°，求直線AB1與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圍成的四邊形如圖所示，它是平行四邊形；（Ⅱ）∵AB⊥BC，平面BB1C1C⊥平面ABC，
且平面BB1C1C⊥平面ABC=BC，AB∩平面ABC
∴AB⊥平面BB1C1C，
∴AB⊥BB1 ， ∠B1BC是二面角B1﹣AB﹣C的平面角，
∴∠B1BC=60°，
以BC，AB為x，y軸，B為原點建立如圖直角坐標系B﹣xyz，
由已知CC1∥α，B1M=α∩平面BB1C1C，知B1M∥CC1 ，
又由臺體的性質，BC∥B1C1 ，
∴MCC1B1是平行四邊形，
∴MC=B1C1=3，M是BC的中點，
又BB1=CC1 ， 則B1到平面ABC的距離，h= ，
同理N是AC的中點，
A（0，﹣8，0），B（0，0，0），B1（﹣ ，0， ），M（﹣3，0，0），
則 =（ ，0， ）， =（0，﹣4，0）， =（﹣ ，8， ）．
設平面α的法向量為 =（x，y，z），則
得一個法向量是 =（ ，0，﹣1），
設直線AB1與平面α所成角為θ，則sinθ=| |= ．
∴直線AB1與平面α所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）圍成的四邊形如圖所示，它是平行四邊形；（Ⅱ）以BC，AB為x，y軸，B為原點建立如圖直角坐標系B﹣xyz，求出平面α的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AB1與平面α所成角的正弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面的基本性質及推論(如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內;過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面;如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．