Question

17．已知函數(shù)g（x）=x²-2ax，f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ln（x+1），若存在x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]使得f′（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1．

Answer 1

分析 先將問(wèn)題等價(jià)為：f'（x）_min≥g（x）_min，再分別對(duì)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上求最值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：根據(jù)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f′（x₁）＞g（x₂）成立，
只需滿(mǎn)足：f'（x）_min≥g（x）_min，
而f'（x）=x²-$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]時(shí)為增函數(shù)，
所以，f'（x）_min=f（0）=-1，
g（x）=x²-2ax的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=a為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
①若a＜1，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，g（x）_min=g（1）=1-2a，
因此，-1≥1-2a，
解得a≥1，
故此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件的a值；
②若1≤a≤2，則x∈[1，a]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈[a，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，g（x）_min=g（a）=-a²，
因此，-1≥-a²，
解得a≤-1，或a≥1，
故此時(shí)1≤a≤2；
③若a＞2，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，g（x）_min=g（2）=4-4a，
因此-1≥4-4a：，
解得a≥$\frac{5}{4}$，
故此時(shí)a＞2；
綜上可得：a≥1
故答案為：a≥1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式有解和恒成立的綜合問(wèn)題，涉及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．