Question

【題目】若數(shù)列{an2}是等差數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“等方差數(shù)列”，給出以下判斷：
①常數(shù)列是等方差數(shù)列；
②若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{an2}是等差數(shù)列；
③若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{an2}是等方差數(shù)列；
④若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a2n}也是等方差數(shù)列，
其中正確的序號(hào)有（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①常數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列；
依題an+12﹣an2=an2﹣an﹣12
（an+1﹣an）（an+1+an）=（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）
又{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則﹣d（an+1+an﹣an﹣an﹣1）=02d2=0d=0
故{an}是常數(shù)列．
②③：∵{an}是等方差數(shù)列，∴an2﹣an﹣12=p（p為常數(shù)）得到{an2}為首項(xiàng)是a12 ， 公差為p的等差數(shù)列；
∴{an2}是等差數(shù)列，故②正確，③不正確；
④：數(shù)列{an}中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，a1 ， a2 ， …，an ， …，a2n ， …
數(shù)列{a2n}中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，an ， a2n ， …，a3n ， …，
∵（an+12﹣an2）=（an+22﹣an+12）=（an+32﹣an+22）=…=（a2n2﹣a2n﹣12）=p
∴（an+12﹣an2）+（an+22﹣an+12）+（an+32﹣an+22）+…+（a2n2﹣a2n﹣12）=kp
∴（a2n+12﹣a2n2）=2p
∴{a2n}（k∈N* ， k為常數(shù)）是等方差數(shù)列；故④正確．
故選：B．
根據(jù)“等方差數(shù)列”的定義，我們逐一判斷可得答案．