Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=A₁B₁=4，D、E分別為AA₁與A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線C₁D與BE的夾角；
（2）求四面體BDEC₁體積．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交AB于點(diǎn)F，連結(jié)FC₁得到∠C₁DF即所求異面直線所成角（或補(bǔ)角），然后，在△C₁DF中根據(jù)余弦定理求解該角即可；
（2）先求解△BDE的面積，然后，結(jié)合四面體BDEC₁體積公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE交AB于點(diǎn)F，連結(jié)FC₁，
∴∠C₁DF即所求異面直線所成角（或補(bǔ)角），
解得DC₁=

20

=2

5

，
DF=

22+12

=

5

，
∴FC=

AC2+AF2-2AC•AFcos60°

=

42+12-2×4×1× 1 2

=

13

，
又CC₁=4，
∴FC₁=

FC2+C C 2 1

=

29

，
由余弦定理，有
cos∠C₁DF=

D C 2 1 +DF2-F C 2 1

2DC1•DF

=-

1

5

．
∴異面直線C₁D與BE的夾角為arccos

1

5

．

（2）DE=2

2

，BD=2

5

，△BDE的高為3

2

，
∴S_△BDE=

1

2

×2

2

×3

2

=6，
∴△BDE的面積為6，
∵△A₁B₁C₁為等邊三角形，E為A₁B₁中點(diǎn)，
∴C₁E=

42-22

=2

3

，
∴高為C₁E=2

3

，
∴四面體BDEC₁體積V=

1

3

×6×2

3

=4

3

．
∴四面體BDEC₁體積4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間角、體積計(jì)算等知識(shí)，考查空間想象能力，屬于中檔題．