Question

4．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
（1）若x≥0時，f（x）=${（{\frac{1}{2}}）^x}$，求不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）若f（x+1）是偶函數(shù)，且當x∈[0，1]時，f（x）=2^x，求f（x）在區(qū)間[2016，2017]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．由$f（x）＞\frac{1}{4}$得f（|x|）＞f（2），可得|x|＜2，解不等式即可得到所求解集；
（2）由條件可得f（-x+1）=f（x+1），結(jié)合f（x）=f（-x），可得f（x）是周期為2的函數(shù)．當x∈[2016，2017]時，x-2016∈[0，1]，由已知的解析式，即可得到所求函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）由已知得f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴由$f（x）＞\frac{1}{4}$得f（|x|）＞f（2），
∴|x|＜2，
∴-2＜x＜2，
∴原不等式的解集是{x|-2＜x＜2}．
（2）∵f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1）．
∵對于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
∴f（x-1）=f（x+1）．
∴f（x）=f（x+2）．∴f（x）是周期為2的函數(shù)．
∵當x∈[2016，2017]時，x-2016∈[0，1]，且當x∈[0，1]時，f（x）=2^x，
∴當x∈[2016，2017]時，f（x）=f（-x）=f（x-2016）=2^x-2016．
即當x∈[2016，2017]時，f（x）=2^x-2016．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查不等式的解法和函數(shù)的解析式的求法，注意運用函數(shù)的周期性，考查運算能力，屬于中檔題．