Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）若D為B₁C₁的中點，求AD與平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）根據(jù)AA₁⊥平面A₁B₁C₁證出AA₁⊥A₁C₁，結(jié)合A₁C₁⊥A₁B₁得到A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，從而證出AB₁⊥A₁C₁．然后在正方形AA₁B₁B中證出AB₁⊥A₁B，可得出AB₁⊥平面A₁BC₁；
（II）連結(jié)AD，由AA₁⊥平面A₁B₁C₁可得∠A₁DA是AD與平面A₁B₁C₁所成角．然后在Rt△A₁DA中利用解直角三角形加以計算，可得AD與平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

解答： 解：（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁，
又∵∠B₁A₁C₁=90°，即A₁C₁⊥A₁B₁，A₁B₁、AA₁是平面AA₁B₁B內(nèi)的相交直線，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，可得AB₁⊥A₁C₁
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，
∴四邊形AA₁B₁B是正方形，可得AB₁⊥A₁B，
又∵A₁B、A₁C₁是平面A₁BC₁內(nèi)的相交直線，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁；
（II）連結(jié)AD，設(shè)AB=AC=AA₁=1，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴∠A₁DA是AD與平面A₁B₁C₁所成角
∵等腰Rt△A₁B₁C₁中，D為斜邊的中點，∴A₁D=

1

2

B₁C₁=

2

2

，
又∵Rt△A₁DA中，AD=

A1D2+A1A 2

=

6

2

，
∴sin∠A₁DA=

A1D

AD

=

3

3

，即AD與平面A₁B₁C₁所成角的正弦值等于

3

3

．

點評：本題在特殊的三棱柱中求證線面垂直，并求直線與平面所成角的大�。�著重考查了直三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．