Question

已知四邊形ABCD是菱形，其對角線AC=4，BD=2，直線AE，CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求證：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直線AB與平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積．

Answer 1

考點：用空間向量求直線與平面的夾角,組合幾何體的面積、體積問題,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（1）連結EO與FO，通過證明EO⊥平面FBD，然后證明平面EBD⊥平面FBD；
（2）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，設平面AED的法向量為：

n

=(x，y，z)，通過

n • AE =0 n • AD =0

，利用法向量直接求出直線AB與平面EAD所成角的正弦值；
（3）四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積，轉化為兩個四棱錐的體積減去兩個三棱錐的體積．

解答：

(2)  4 5 (3)  16 15

解：（1）證明：連結EO與FO，∵四邊形ABCD是菱形，其對角線AC=4，BD=2，∴AO=2，OC=2，OD=0B=1，直線AE，CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．tan∠EOA=tan∠OFC，∴∠EOA+∠FOC=90°∴EO⊥OF．
△EAB≌△EAD，∴EA=ED，△BED是等腰三角形．∴EO⊥BD，∵BD∩OF=O，∴EO⊥平面FBD，EO?平面BDE，∴平面EBD⊥平面FBD．
（2）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，則A（0，-2，0），B（1，0，0），E（0，-2，1），D（-1，0，0），

AE

=(0，0，1)，

AD

=(-1，2，0)．
設平面AED的法向量為：

n

=(x，y，z)，則

n • AE =0 n • AD =0

，即

z=0 -x+2y=0

，

n

=(2，1，0)，

AB

=(1，2，0)．
∴直線AB與平面EAD所成角的正弦值為：sinθ=|

n • AB

| n || AB |

|=

4

5 × 5

=

4

5

．
（3）四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積
V=V_E-ABCD+V_F-ABCD-V_E-ABD-V_F-BCD
=

1

3

×

1

2

×4×2×1+

1

3

×

1

2

×4×2×4-

1

3

×

1

2

×

1

2

×2×4-

1

3

×

1

2

×

1

2

×4×2×4
=

10

3

．

點評：本題考查空間位置關系，二面角平面角的作法以及空間幾何體的體積計算等知識．考查利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力．