Question

18．（Ⅰ）若圓x²+y²=4在伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=3y}\end{array}\right.$（λ＞0）的作用下變成一個焦點在x軸上，且離心率為$\frac{4}{5}$的橢圓，求λ的值；
（Ⅱ）在極坐標系中，已知點A（2，0），點P在曲線C：$ρ=\frac{2+2cosθ}{si{n}^{2}θ}$上運動，求P、A兩點間的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓x²+y²=4在伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=3y}\end{array}\right.$（λ＞0）的作用下可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{9}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．根據(jù)變成一個焦點在x軸上，且離心率為$\frac{4}{5}$的橢圓，可得b=6，$\sqrt{1-\frac{36}{4{λ}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得λ．
（Ⅱ）曲線C的極坐標方程曲線C：$ρ=\frac{2+2cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{1-cosθ}$，即ρ-ρcosθ=2．利用互化公式可得直角坐標方程，設點P（x，y）（x≥-1），利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圓x²+y²=4在伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=3y}\end{array}\right.$（λ＞0）的作用下可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{9}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．
變成一個焦點在x軸上，且離心率為$\frac{4}{5}$的橢圓，∴2λ=a，b=6，$\sqrt{1-\frac{36}{4{λ}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得λ=5．
（Ⅱ）曲線C的極坐標方程曲線C：$ρ=\frac{2+2cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{1-cosθ}$，即ρ-ρcosθ=2．化為直角坐標方程，得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-x=2．
化為：y²=4（x+1）．設點P（x，y）（x≥-1），
則|PA|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，當且僅當x=0時取等號．
故|PA|的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程與性質、坐標變換、極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．