Question

20．已知命題p：函數(shù)f（x）=|cos²x-sinxcosx-$\frac{1}{2}$|的最小正周期為π；命題q：函數(shù)f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列命題是真命題的是（　�。�

• A． p∧q
• B． p∨q
• C． （￢p）∧（￢q）
• D． p∨（￢q）

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=$|\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|sin（2x-\frac{π}{4}）|$的最小正周期為$\frac{π}{2}$；命題q：函數(shù)f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$，由$\frac{3+x}{3-x}$＞0，可得定義域?yàn)椋海?3，3）．又f（-x）=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，利用復(fù)合命題真假的判定方法即可判斷出結(jié)論．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=|cos²x-sinxcosx-$\frac{1}{2}$|=$|\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|sin（2x-\frac{π}{4}）|$的最小正周期為$\frac{π}{2}$，因此是假命題；
命題q：函數(shù)f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$，由$\frac{3+x}{3-x}$＞0，化為（x+3）（x-3）＜0，解得-3＜x＜3，
可得定義域?yàn)椋海?3，3）．又f（-x）=$ln\frac{3-x}{3+x}$=-ln$\frac{3+x}{3-x}$=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，是真命題．
則下列命題是真命題的是p∨q．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的周期性、倍角公式與和差公式、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．