Question

10．某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬實(shí)驗(yàn)，準(zhǔn)備用A、B、C三種人工降雨方式分別對(duì)甲，乙，丙三地實(shí)施人工降雨，其實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下

方式	實(shí)施地點(diǎn)	大雨	中雨	小雨	模擬實(shí)驗(yàn)次數(shù)
A	甲	2次	6次	4次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假定對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響，且不考慮洪澇災(zāi)害，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；
（Ⅱ）考慮不同地區(qū)的干旱程度，當(dāng)雨量達(dá)到理想狀態(tài)時(shí)，能緩解旱情，若甲、丙地需中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài)，記“甲，乙，丙三地中緩解旱情的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件M：“甲、乙、丙三地都恰為中雨”，利用概率乘法的計(jì)算公式求解即可．
（Ⅱ）設(shè)事件A、B、C分別表示“甲、乙、丙三地能緩解旱情”，求出$P（A）=\frac{2}{3}，P（B）=\frac{1}{4}，P（C）=\frac{1}{3}$，推出X 的可能取值為0，1，2，3求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件M：“甲、乙、丙三地都恰為中雨”，則$P（M）=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{6}=\frac{1}{24}$…..（3分）
（Ⅱ）設(shè)事件A、B、C分別表示“甲、乙、丙三地能緩解旱情”，則由題知
$P（A）=\frac{2}{3}，P（B）=\frac{1}{4}，P（C）=\frac{1}{3}$，…（5分）
且X 的可能取值為0，1，2，3$P（{X=0}）=P（{\bar A\bar B\bar C}）=\frac{1}{6}$$P（{X=1}）=P（{A\bar B\bar C}）+P（{\bar AB\bar C}）+P（{\bar A\bar BC}）=\frac{17}{36}$$P（{X=2}）=P（{AB\bar C}）+P（{A\bar BC}）+P（{\bar ABC}）=\frac{11}{36}$$P（{X=3}）=P（{ABC}）=\frac{1}{18}$…..（8分）
分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{17}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{18}$

$E（X）=\frac{17+22+6}{36}=\frac{5}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法公式，期望的求法以及分布列的求法，考查計(jì)算能力．