【題目】設(shè)雙曲線 的兩個焦點分別為F1、F2離心率e=2.
(1)求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程;
(2)若A、B分別為l1、l2上的點,且 求線段AB的中點M的軌跡方程.
(3)過點N(1,0)能否作直線l , 使l與雙曲線交于不同兩點P、Q.且 ,若存在,求直線l的方程,若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
【解答】雙曲線離心率為, ,所以漸近線方程:
(2)
【解答】設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)AB的中點M(x,y)∵2|AB|=5|F1F2|∴|AB|=10
∴(x1,x2)2+(y1–y2)2=100,又 , ,x1+x2=2x,y1+y2=2y.
∴ ,
∴ , 即
(3)
【解答】假設(shè)存在這樣的直線e,設(shè)其方程為y=k(x-1) P(x1,y1),Q(x2,y2)∵
∴x1x2+y1y2=0 ∴x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0 ①
由 得(3k2-1)x2-6k2x+3k2-3=0 ∴ ②
由①②得: k2+3=0 ∴k不存在,即這樣的直線不存在.
【解析】本題考查了雙曲線的定義分析問題、解決問題的能力
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【題目】已知函數(shù) ,
(Ⅰ) 證明f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ) 求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時, ,則對任意,函數(shù)的零點個數(shù)至多有( )
A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 9個
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【題目】如圖,兩個橢圓, 內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C,P是曲線C上的任意一點,給出下列四個判斷:
①P到F1(-4,0)、F2(4,0)、E1(0,-4)、E2(0,4)四點的距離之和為定值;
②曲線C關(guān)于直線y=x、y=-x均對稱;③曲線C所圍區(qū)域面積必小于36.
④曲線C總長度不大于6π.上述判斷中正確命題的序號為________________.
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【題目】求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點A(2,0);
(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形,且焦點到同側(cè)頂點的距離為.
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【題目】已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點.若A是PB的中點,求直線m的斜率.
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【題目】若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則( )
A. 有最大值4
B.ab有最小值
C. 有最大值
D.a2+b2有最小值
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【題目】橢圓E經(jīng)過點A(2,3),對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點F1 , F2在x軸上,離心率e= .
(1)求橢圓E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.
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