Question

【題目】已知曲線.

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）過點作曲線的切線，若所有切線的斜率之和為1，求的值.

Answer 1

【答案】(I) ；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率根據(jù)點斜式可得切線的方程；（2）設(shè)出曲線過點切線方程的切點坐標(biāo)，把切點的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出斜率，根據(jù)切點坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，解方程方即可得到切點橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可的結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時， ，∴f'（x）＝x2－1，

∴k切＝f'（2）＝4－1＝3．

∵，

所以切線方程為，整理得9x－3y－10＝0．

（Ⅱ）設(shè)曲線的切點為（x0，y0），則，

所以切線方程為．

又因為切點（x0，y0）既在曲線f（x）上，又在切線上，所以聯(lián)立得

可得x0＝0或x0＝3，

所以兩切線的斜率之和為－a＋（9－a）＝9－2a＝1，∴a＝4．

【方法點晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線，屬于中檔題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.