Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b²+a²-c²=ab，若f（A）-m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理可求cosC，由范圍C∈（0，π），可求C的值，由題意2sin（2A-$\frac{π}{6}$）＞m恒成立，由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，進(jìn)而可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+sin²x-cos²x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵b²+a²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∵f（A）-m=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）-m＞0恒成立，即：2sin（2A-$\frac{π}{6}$）＞m恒成立，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，可得：m≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積公式、輔助角公式，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．