Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{3π}{4}$）=7．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）A，B分別是圓C和直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用和與差公式打開，根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y可得直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）根據(jù)圓C的參數(shù)方程，求出圓心和半徑，|AB|的最小值為圓心到直線的距離d-r可得答案．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{3π}{4}$）=7．
那么：$\sqrt{2}ρsinθcos\frac{3π}{4}+\sqrt{2}ρcosθsin\frac{3π}{4}=7$，
根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y可得：-y+x=7．
即直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y=7．
（2）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），其圓心為（-1，2），半徑r=4．
那么：圓心到直線的距離d=$\frac{|-1+2-7|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$．
∴AB|的最小值為圓心到直線的距離d-r，即$|AB{|}_{min}=d-r=3\sqrt{2}-4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化以及應(yīng)用，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．