Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分類討論，去掉絕對(duì)值，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的零點(diǎn)．
（2）把函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，在每一段上研究函數(shù)的零點(diǎn)情況，從而求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵k=2，當(dāng)x≥1或x≤-1時(shí)，2 x²+2x-1=0，解方程得x=

-1- 3

2

．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，2x+1=0，x=-

1

2

，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為

-1- 3

2

，-

1

2

．（3分）
（2）∵f(x)=

kx+1，x∈(0，1] 2x2+kx-1，x∈(1，2)

，（4分）
①兩零點(diǎn)在（0，1]，（1，2）各一個(gè)：由于f（0）=1＞0，
∴

f(1)＜0 f(2)＞0

?-

7

2

＜k＜-1．（6分）
②兩零點(diǎn)都在（1，2）上時(shí)，顯然不符合根與系數(shù)的關(guān)系 x₁x₂=-

1

2

＜0．
綜上，k的取值范圍是：-

7

2

＜k＜-1．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的求法，以及函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．