Question

已知橢圓C的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2

5

，點(diǎn)(

5

，

4

3

)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上的一點(diǎn)p在第一象限，且滿足PF₁⊥PF₂，⊙O的方程為x²+y²=4．求點(diǎn)p坐標(biāo)，并判斷直線pF₂與⊙O的位置關(guān)系；
（3）設(shè)點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，是否存在不同于點(diǎn)A的定點(diǎn)B，對于⊙O上任意一點(diǎn)M，都有

MB

MA

為常數(shù)，若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的定義和點(diǎn)（

5

，

4

3

）求得2a，進(jìn)而根據(jù)a和c求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)PF₁⊥PF₂，可得

PF1

•

PF2

=0，把x和y代入整理可得方程與橢圓方程聯(lián)立求得x和y，即點(diǎn)P的坐標(biāo)．進(jìn)而可得直線PF₂的方程，進(jìn)而可求得⊙O圓心O到直線PF₂的距離正好等于半徑，進(jìn)而推斷直線PF₂與⊙O相切．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），假設(shè)存在點(diǎn)B（m，n），對于⊙O上任意一點(diǎn)M，都有

MB

MA

為常數(shù)，則可表示出|MB|²和|MA|²，代入

MB

MA

中，進(jìn)而可得求得m，n和λ，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由題意可得：
橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0）
由點(diǎn)（

5

，

4

3

）在該橢圓上，
∴2a=

20+ 16 9

+

0+ 16 9

=6．
∴a=3
又c=

5

得b²=9-5=4，
故橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）（x＞0，y＞0），則為

x2

9

+

y2

4

．①
由PF₁⊥PF₂，得

PF1

•

PF2

=0∴（x+

5

）（x-

5

）+y²=0
即x²+y²=5②
由①②聯(lián)立結(jié)合x＞0，y＞0解得：x=

3 5

5

，y=

4 5

5

，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3 5

5

，

4 5

5

）
∴直線PF₂的方程為2x+y-2

5

=0
∵圓x²+y²=4的圓心O到直線PF₂的距離d=

2 5

5

=2
∴直線PF₂與⊙O相切
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則x²+y²=4
假設(shè)存在點(diǎn)B（m，n），對于⊙O上任意一點(diǎn)M，都有

MB

MA

為常數(shù)，則
|MB|²=（x-m）²+（y-n）²，|MA|²=（x+3）²+y²
∴

(x-m)2+(y-n) 2

(x+3)2+y2

=λ（常數(shù)）恒成立
可得（6λ+2m）x+2ny+13λ-m²-n²-4=0
∴

3λ+m=0 2n=0 13λ-m2-n2-4=0

∴

λ= 4 9 m=- 4 3 n=0

或

λ=1 m=-3 n=0

（不合舍去）
∴存在滿足條件的點(diǎn)B，它的坐標(biāo)為（-

4

3

，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓與圓的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．