Question

10．已知兩點M（-5，0）、N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“和諧直線”，給出下列直線：①y=x-1；②y=-$\frac{2}{3}$x；③y=$\frac{5}{3}$x；④y=2x+1．其中為“和諧直線”的是①②．（填全部正確答案的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，可得點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線，由此算出雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．再分別判斷雙曲線與四條直線的位置關系，可得只有①②的直線上存在點P滿足“和諧直線”的條件，由此可得答案．

解答 解：∵點M（-5，0），N（5，0），點P使|PM|-|PN|=6，
∴點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
∵雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x
∴直線y=$\frac{5}{3}$x與雙曲線沒有公共點，直線y=2x+1經(jīng)過點（0，1）斜率k＞$\frac{4}{3}$，與雙曲線也沒有公共點．
而直線①y=x-1、②y=-$\frac{2}{3}$x都與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有交點
因此，在①y=x-1、②y=-$\frac{2}{3}$x上存在點P使|PM|-|PN|=6，滿足“和諧直線”的條件．
只有①②正確．
故答案是：①②．

點評 本題給出“和諧直線”的定義，判斷幾條直線是否為“和諧直線”，著重考查了雙曲線的定義標準方程、直線與雙曲線的位置關系等知識，屬于基礎題．