Question

3．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點A（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓M的方程；
（2）斜率為$\frac{\sqrt{3}}{6}$的直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過的點，以及a，b，c關系式，求出a，b即可得到橢圓方程；
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x+m代入橢圓方程并化簡，再利用根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）因為 $\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點A（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$），
代入橢圓方程得 $\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$，a²=b²+c²，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1
所以橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）設點B，C的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
設直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x+m，代入橢圓方程可得．
由得4x²+4$\sqrt{3}$mx+12m²-12=0，
即x₁+x₂=-$\sqrt{3}$m，x₁•x₂=3m²-3…（6分）
△=12-9m²＞0，m²＜$\frac{4}{3}$．…（7分）
|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{\frac{13}{12}}$×$\sqrt{12-9{m}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{13}•\sqrt{4-3{m}^{2}}}{2}$，
點A到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+3}}$，…（9分）
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|BC|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{2}×\frac{\sqrt{13}×\sqrt{4-3{m}^{2}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{13}}{8}×\sqrt{4{m}^{2}-3{m}^{4}}$…（11分），
當且僅當m²=$\frac{2}{3}$，三角形的面積取得最大值．時等號成立．
所以當m=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$時，△ABC面積的最大值為：$\frac{\sqrt{39}}{12}$．…（12分）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．