Question

9．如圖，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證AE⊥平面BCE；
（2）設(shè)$\frac{AE}{EB}=λ$，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由BF⊥平面ACE，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：BF⊥AE．利用正方形的性質(zhì)可得：BC⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：CB⊥AE．即可證明AE⊥平面BCE．
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可得出二面角，進(jìn)而解出λ．

解答 （1）證明：∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE．
∵平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥AB，
∴CB⊥平面ABE．
∴CB⊥AE．又BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE．
（2）解：以A為原點(diǎn)，垂直于平面ABCD的直線AG為x軸，AB所在直線為y軸，AD為z軸，
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則B（0，2，0），C（0，2，2）．
假設(shè)存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
設(shè)E（a，b，0），則$\overrightarrow{AE}=（a，b，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，2）$
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AE}•\overrightarrow n=\overrightarrow 0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow n=\overrightarrow 0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ax+by=0\\ 2y+2z=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{a}y\\ z=-y\end{array}\right.$
令y=a，得$\overrightarrow n=（-b，a，-a）$是平面EAC的一個(gè)法向量．
又平面BAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow m=（1，0，0）$，
由$|{cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞}|=|{\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}}|=\frac{|b|}{{\sqrt{2{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，化簡得a²=b² ①，
又∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=0$，即a²+b（b-2）=0②，
聯(lián)立①②，解得b=0（舍），b=1．
由$AE=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，$BE=\sqrt{{a^2}+{{（b-2）}^2}}$，∴AE=BE．
∴當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系空間角、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、正方形的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．