Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，并且有Sn=

a13+a23+a33+…+an3

（1）求a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}，其中 b_n=

1

an2

，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

7

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中分別取n=1，2，3求得數(shù)列的前三項；
（2）由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，然后由等差數(shù)列的通項公式得答案；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入 b_n=

1

an2

，整理后利用放縮法證明數(shù)列不等式．

解答： （1）解：在S_n=

a13+a23+a33+…+an3

中，
當n=1時，a1=S1=

a13

，即a12=a13，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
當n=2時，（a1+a2）2=a12+a23，即1+2a2+a22=1+a23，
解得：a₂=-1或a₂=2．
∵a₂＞0，∴a₂=2；
當n=3時，(a1+a2+a3)2=a13+a23+a33，
即(3+a3)2=9+a33，解得：a₃=3；
（2）解：由S_n=

a13+a23+a33+…+an3

，得
a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n² ①，
當n≥2時，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1² ②，
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n ③，
∵a₁=1適合上式．
當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1 ④，
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，可得a_n=n；
（3）證明：b_n=

1

an2

=

1

n2

，
則Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=1+

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是對數(shù)列的放縮度的把握，是壓軸題．