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19.已知數列{an}的前n項和Sn=an+1-1,a1=1,(n∈N*).數列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn+an+1(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列{bn}的通項公式;
(3)若cn=an•log2(bn+1),求數列{cn}的前n項和Tn

分析 (1)由數列的前n項和推陳出新導出an+1an=2,從而數列{an}是首項是1,公比為2的等差數列,由此能求出an
(2)推導出bn-bn-1=2n-1,由此利用累加法能求出bn
(2)由cn=an•log2(bn+1)=2n1log22n=n•2n-1,利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和Tn

解答 解:(1)∵數列的前n項和Sn=an+1-1,a1=1,(n∈N*).
∴an=Sn-Sn-1=(an+1-1)-(an-1),
2an=an+1,
an+1an=2,
∴數列{an}是首項是1,公比為2的等差數列,
∴an=1×2n-1=2n-1
(2)∵數列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn+an+1(n∈N*),
bn-bn-1=2n-1,
∴bn=b1+b2+b3+…+bn
=1+2+22+…+2n-1
=12n12=2n-1.
(2)∵cn=an•log2(bn+1)=2n1log22n=n•2n-1,
∴數列{cn}的前n項和:
Tn=1×20+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Tn=1×2+2×22+3×33+…+n×2n,②
①-②,得:-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
=12n12-n×2n-1
=2n-1-n×2n.,
∴Tn=(n-1)×2n+1.

點評 本題考查數列的通項公式的求法,考查數列的前n項的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等差數列\(zhòng)錯位相減法的性質的合理運用.

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(1)請將上表數據補充完整,并直接寫出函數f(x)的解析式;
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