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4.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<\frac{π}{2})在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
ωx+φ0\frac{π}{2}π\frac{3π}{2}
x\frac{π}{3}\frac{5π}{6}
f(x)=Asin(ωx+φ),05-50
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移動\frac{π}{6}個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)圖象,求y=g(x),x∈(-\frac{π}{4},\frac{π}{4})的單調(diào)增區(qū)間和值域.

分析 (1)根據(jù)“五點(diǎn)法”畫圖求出A、ω、φ的值,
寫出f(x)解析式,填表即可;
(2)根據(jù)圖象平移法則,得出g(x)解析式,
求出g(x)在x∈(-\frac{π}{4}\frac{π}{4})內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間和值域.

解答 解:(1)根據(jù)“五點(diǎn)法”知,A=5,
\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}}\\{\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}}\end{array}\right.,
解得ω=2,φ=-\frac{π}{6};
∴f(x)=5sin(2x-\frac{π}{6}),
填表如下;

ωx+φ0\frac{π}{2}π\frac{3π}{2}
x\frac{π}{12}\frac{π}{3}\frac{7π}{12}\frac{5π}{6}\frac{13π}{12}
f(x)=Asin(ωx+φ),050-50
(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移動\frac{π}{6}個單位長度,
得y=5sin[2(x+\frac{π}{6})-\frac{π}{6}]=5sin(2x+\frac{π}{6})的圖象,
∴y=g(x)=5sin(2x+\frac{π}{6});
令-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z,
解得-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ,k∈Z,
∴y=g(x)在x∈(-\frac{π}{4}\frac{π}{4})內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為(-\frac{π}{4},\frac{π}{6}];
當(dāng)x∈(-\frac{π}{4},\frac{π}{4})時,2x+\frac{π}{6}∈(-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}),
∴5sin(2x+\frac{π}{6})∈(-\frac{5\sqrt{3}}{2},5],
即函數(shù)g(x)的值域為(-\frac{5\sqrt{3}}{2},5].

點(diǎn)評 本題考查了“五點(diǎn)法”畫圖以及三角函數(shù)圖象平移、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是中檔題.

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