Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常數(shù)a＞1．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），即可得出單調(diào)性．
（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．進(jìn)而得出．

解答 解：（1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），
由a＞1知，當(dāng)x＜2時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（-∞，2）是增函數(shù)；
當(dāng)2＜x＜2a時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在區(qū)間（2，2a）是減函數(shù)；
當(dāng)x＞2a時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（2a，+∞）是增函數(shù)．
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2a，+∞）是增函數(shù)，在區(qū)間（2，2a）是減函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值.$f（{2a}）=\frac{1}{3}{（{2a}）^3}-（{1+a}）{（{2a}）^2}+4a•2a+24a=-\frac{4}{3}{a^3}+4{a^2}+24a$，f（0）=24a，
由假設(shè)知$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{f（{2a}）≥0}\\{f（0）≥0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-\frac{4}{3}a（{a+3}）（{a-6}）≥0}\\{24a≥0}\end{array}}\right.$，解得1＜a≤6，
故a的取值范圍是（1，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．