Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間；

（2）如果關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值集合；

（3）是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 是函數(shù)的增區(qū)間；（－1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間;

(2) 實數(shù)m的取值范圍是;(3) 滿足條件的正數(shù)k不存在.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間，（2）分離參變得求函數(shù)值域，利用導數(shù)求值域，（3）由于為恒正遞增函數(shù)， 是 上恒正減函數(shù)，因此可得矛盾，即推得不存在

試題解析：（1）函數(shù)的定義域是

對求導得

由 ，由

因此 是函數(shù)的增區(qū)間；

（－1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間

（2）因為

所以實數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域

對

令

∴當x=2時取得最大值，且

又當x無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，

進而有無限趨近于－∞.因此函數(shù)的值域是

即實數(shù)m的取值范圍是

（3）結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在。

證明：假設(shè)存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程

有兩個不相等的實數(shù)根，則

根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域知都是正數(shù)。

又由（1）可知，當

∴=

再由k>0，可得

由于 不妨設(shè) ，由①和②可得

利用比例性質(zhì)得

即

由于上的恒正增函數(shù)，且

又由于 上的恒正減函數(shù)，且 ∴

∴，這與（*）式矛盾。因此滿足條件的正數(shù)k不存在.