已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標.
分析:(1)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的半焦距為c,利用橢圓的離心率是
3
2
,可得a=2b,根據(jù)橢圓經(jīng)過點M(2,1),可得
4
a2
+
1
b2
=1
,從而有a2=8,b2=2,故可求橢圓的方程為
x2
8
+
y2
2
=1

(2)將直線y=
1
2
x+m(m<0)
代入橢圓方程
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2mx+2m2-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則當m=-1時,x1+x2=2,x1x2=-2,所以AB的長為
15
,利用點到直線的距離公式可求得點M(2,1)到直線x-2y-2=0 的距離為
2
5
,從而可求△MAB的面積.
(3)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,△MAB的內(nèi)心是I,則k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=0
,從而可知∠AMB的平分線MI垂直于x軸,故可△MAB的內(nèi)心的橫坐標.
解答:解:(1)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的半焦距為c
∵橢圓的離心率是
3
2
,∴
c2
a2
=1-
b2
a2
=
3
4
,∴a=2b
又橢圓經(jīng)過點M(2,1),∴
4
a2
+
1
b2
=1
,解得a2=8,b2=2
∴橢圓的方程為
x2
8
+
y2
2
=1

(2)將直線y=
1
2
x+m(m<0)
代入橢圓方程
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2mx+2m2-4=0
令△=4m2-4(2m2-4)>0,∴-2<m<0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
當m=-1時,x1+x2=2,x1x2=-2,∴AB的長為
15

點M(2,1)到直線x-2y-2=0 的距離為
2
5

∴△MAB的面積S=
1
2
×
15
×
2
5
=
3

(3)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,△MAB的內(nèi)心是I,則k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=0

∵m<0,∴∠AMB的平分線MI垂直于x軸
∴△MAB的內(nèi)心的橫坐標是2.
點評:本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體,考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立,合理運用韋達定理.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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