Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，M（x₀，y₀）是雙曲線C上的一點，若$\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$＜0，則y₀的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）$
• C． $（{-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）$
• D． $（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$

Answer 1

分析 先求出雙曲線的方程，再結(jié)合M（x₀，y₀）是雙曲線C上的一點，若•$\overrightarrow{M{F_2}}$＜0，即可求出y₀的取值范圍．

解答 解：由題意，c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$，b=1，∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
∵$\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$＜0，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3＜0$，
∵${{x}_{0}}^{2}$=2+$2{{y}_{0}}^{2}$，
∴$3{{y}_{0}}^{2}$-1＜0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜{y}_{0}＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．