在長(zhǎng)方體中,為線段中點(diǎn).
(1)求直線與直線所成的角的余弦值;
(2)若,求二面角的大;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
(1);(2);(3).
解析試題分析:(1)以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo),從而可求出和的坐標(biāo),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/0/1sgk44.png" style="vertical-align:middle;" />,所以直線與直線所成的角為,其余弦值;(2)分別求出平面和平面的法向量,求出法向量所成的角,轉(zhuǎn)化為二面角的平面角;(3)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則,設(shè),則垂直于平面的法向量,從而求出,即存在點(diǎn),使平面.
試題解析:
(1)以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則 ,
,
故即與所成角的余弦值為0 .
(2) 連接,由長(zhǎng)方體,得 ,
,,由(1)知,故平面. 所以是平面的法向量,而,
又,設(shè)平面的法向量為,則有,取,可得
則 ,所以二面角是 .
(3) 假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則,設(shè),平面的法向量為則有,取,可得
要使平面,只要 ,
,又平面,
存在點(diǎn)使平面,此時(shí).
考點(diǎn):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在立體幾何中的應(yīng)用,主要考查了利用向量方法解決空間中線面角,二面角的平面角的求解,以及線面平行的判定方法,解題的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,利用向量法解決空間中立體幾何問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E為PA的中點(diǎn).
(1)證明:DE∥平面PBC;
(2)證明:DE⊥平面PAB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離;
(Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,平面,,為側(cè)棱上一點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.
(1)證明:平面;
(2)在的平分線上確定一點(diǎn),使得平面,并求此時(shí)的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900.
(1)求證:PC⊥BC;
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四邊形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC所成的角為60°.
(1)求證:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求點(diǎn)B到平面MAC的距離.
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