Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R） （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=2時(shí)取極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， 依題意有：f'（2）=0，即 ，
解得：
檢驗(yàn)：當(dāng) 時(shí)，

此時(shí)：函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
滿足在x=2時(shí)取得極值
綜上： ．
（Ⅱ）依題意有：fmin（x，）≥0
，
令f′（x）=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①當(dāng)2a﹣1≤1即a≤1時(shí)，
函數(shù)f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
則f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
于是fmin（x）=f（1）=2﹣2a≥0，
解得：a≤1；
②當(dāng)2a﹣1＞1即a＞1時(shí)，
函數(shù)f（x）在[1，2a﹣1]單調(diào)遞減，在[2a﹣1，+∞）單調(diào)遞增，
于是fmin（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合題意，
此時(shí)：a∈Φ；
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1
【解析】（Ⅰ）由 ，依題意有：f'（2）=0，即 ，通過檢驗(yàn)滿足在x=2時(shí)取得極值．（Ⅱ）依題意有：fmin（x，）≥0從而 ，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通過討論①當(dāng)2a﹣1≤1即a≤1時(shí)②當(dāng)2a﹣1＞1即a＞1時(shí)，進(jìn)而求出a的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．