【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若的斜率為,為的中點(diǎn),且的斜率為,求橢圓的方程;
(2)連結(jié)并延長,交橢圓于點(diǎn),若橢圓的長半軸長是大于的給定常數(shù),求的面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法求得的數(shù)值,結(jié)合以及,求得的值,由此求得橢圓方程.(2)根據(jù)已知得到,設(shè)出的坐標(biāo)和直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理.求得三角形面積的表達(dá)式,利用基本不等式和單調(diào)性,求得面積最大值的表達(dá)式.
(1)設(shè),則
,,.
由此可得;
因?yàn)?/span>,,,所以
又由左焦點(diǎn)為,故,因此.所以的方程為
(2)因?yàn)闄E圓的半焦距,所以,設(shè),直線的方程,
由方程組消去得:,
,且恒成立,
連結(jié),由知,
,
令,則,
①若,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),
即時,;
②若,即,設(shè),則時,
在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)且僅當(dāng),
即時,;
綜上可知:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線焦點(diǎn)為F,上任一點(diǎn)P在y軸的射影為Q,PQ中點(diǎn)為R,.
(1)求動點(diǎn)T的軌跡的方程;
(2)直線過F與從下到上依次交于A,B,與交于F,M,直線過F與從下到上依次交于C,D,與交于F,N,,的斜率之積為-2.
(i)求證:M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值;
(ii)設(shè)△ACF,△MNF,△BDF的面積分別為,,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用合適的方法表示下列集合,并說明是有限集還是無限集.
(1)到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合
(2)滿足不等式的的集合
(3)全體偶數(shù)
(4)被5除余1的數(shù)
(5)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)
(6)
(7)方程的解集
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為,觀影人數(shù)記為,其函數(shù)圖象如圖(1)所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期,相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案,圖(2)、圖(3)中的實(shí)線分別為調(diào)整后與的函數(shù)圖象.
給出下列四種說法:
①圖(2)對應(yīng)的方案是:提高票價,并提高成本;
②圖(2)對應(yīng)的方案是:保持票價不變,并降低成本;
③圖(3)對應(yīng)的方案是:提高票價,并保持成本不變;
④圖(3)對應(yīng)的方案是:提高票價,并降低成本.
其中,正確的說法是____________.(填寫所有正確說法的編號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】歷史上,許多人研究過圓錐的截口曲線.如圖,在圓錐中,母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為,現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直,與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為,對于所得截口曲線給出如下命題:
①曲線形狀為橢圓;
②點(diǎn)為該曲線上任意兩點(diǎn)最長距離的三等分點(diǎn);
③該曲線上任意兩點(diǎn)間的最長距離為,最短距離為;
④該曲線的離心率為.其中正確命題的序號為 ( )
A. ①②④B. ①②③④C. ①②③D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測6月份該商場空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷,對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.假設(shè)該地擬購買空調(diào)的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)過營銷部調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的500名顧客進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購買意愿對應(yīng)的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名,再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn),,求點(diǎn)到直線的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸,取相同的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 .
(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,曲線上任一點(diǎn)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】底面為菱形且側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中, , 分別是, 的中點(diǎn),過點(diǎn), , , 的平面截直四棱柱,得到平面四邊形, 為的中點(diǎn),且,當(dāng)截面的面積取最大值時, 的值為( )
A. B. C. D.
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