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3.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=2n2+5n.
(1)求證:數(shù)列{3an}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn=2Sn-3n,求數(shù)列{nann}的前n項和Tn

分析 (1)利用an={S1n=1SnSn1n2,求出an=4n+3,從而3an=34n+3,由此能證明數(shù)列{3an}為等比數(shù)列.
(2)求出bn=4n2+7n,從而nann=n4n+34n2+7n=14n+34n+7=1414n+314n+7),由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{nann}的前n項和.

解答 證明:(1)∵Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=2n2+5n,
a1=S1=2×12+5×1=7,
an=Sn-Sn-1=(2n2+5n)-[2(n-1)2+5(n-1)]=4n+3,
當n=1時,4n+3=7=a1,
∴an=4n+3,
3an=34n+3
3an3an1=34n+334n1=34=81,
∴數(shù)列{3an}為等比數(shù)列.
解:(2)bn=2Sn-3n=4n2+10n-3n=4n2+7n,
nann=n4n+34n2+7n=14n+34n+7=1414n+314n+7),
∴數(shù)列{\frac{n}{{a}_{n}_{n}}}的前n項和:
Tn=1417111+111115++14n+314n+7
=141714n+7

點評 本題考查等比數(shù)列證明,考查數(shù)列的前n項和的求法,考查等比數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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