Question

5．已知A是拋物線C：y²=2px（p＞0）上一個動點，且點A到直線l：x-2y+13=0的最短距離是$\sqrt{5}$，過直線l上一點B（3，8）作拋物線C的兩條切線，M，N為切點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法1：設直線m：x-2y+c=0與拋物線相切，則直線m與l的距離就是動點A到直線l：x-2y+13=0的最短距離，求出c=8，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x-2y+c=0}\end{array}}\right.$，消x，利用△=16p²-8cp=0，即可求解拋物線C的方程為y²=8x
法2：設點A為$（\frac{a^2}{2p}，a）$則點A到直線l：x-2y+13=0的距離d，通過d的最小值，求出2p=8，得到拋物線C的方程為y²=8x．
（Ⅱ）設過點B的切線方程為x-3=m（y-8），設$M（\frac{{{y_1}^2}}{8}，{y_1}），N（\frac{{{y_2}^2}}{8}，{y_2}）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{x-3=m（y-8）}\end{array}}\right.$，得到△=64m²-4（64m-24）=0，即2m²-8m+3=0，再利用△'=64-24=40＞0，設兩根為m₁，m₂，分別對應切線BM，BN，利用韋達定理，然后求解切點M坐標為$（2{m_1}^2，4{m_1}）$，切點N坐標為$（2{m_2}^2，4{m_2}）$，化簡求解向量的數量積，推出結果．

解答 解：（Ⅰ）法1：由題意可知，設直線m：x-2y+c=0與拋物線相切，則直線m與l的距離就是動點A到直線l：x-2y+13=0的最短距離，即$\frac{|13-c|}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，解得c=8或18
由圖可知，拋物線C于直線l相離，故c＜13，故c=8$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x-2y+c=0}\end{array}}\right.$，消x得y²-4py+2cp=0，則△=16p²-8cp=0，即c=2p
故2p=8，即拋物線C的方程為y²=8x
法2：設點A為$（\frac{a^2}{2p}，a）$則點A到直線l：x-2y+13=0的距離$d=\frac{{|\frac{a^2}{2p}-2a+13|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|\frac{1}{2p}{{（a-2p）}^2}-2p+13|}}{{\sqrt{5}}}$，由于a∈R，p＞0，若-2p+13≤0，則d的最小值是0，不合題意，故-2p+13＞0，且只有當a=2p時，d取到最小值$\frac{|-2p+13|}{{\sqrt{5}}}=\frac{-2p+13}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，故2p=8，即拋物線C的方程為y²=8x
（Ⅱ）由題意可知，切線BM，BN的斜率存在且不等于0，設過點B的切線方程為x-3=m（y-8），設$M（\frac{{{y_1}^2}}{8}，{y_1}），N（\frac{{{y_2}^2}}{8}，{y_2}）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{x-3=m（y-8）}\end{array}}\right.$，得y²-8my+64m-24=0，△=64m²-4（64m-24）=0，即2m²-8m+3=0，由于其△'=64-24=40＞0
不妨設兩根為m₁，m₂，分別對應切線BM，BN，則${m_1}+{m_2}=4，{m_1}{m_2}=\frac{3}{2}$，
且由于y²-8my+64m-24=0具有等根，故y₁=4m₁，y₂=4m₂，
則切點M坐標為$（2{m_1}^2，4{m_1}）$，切點N坐標為$（2{m_2}^2，4{m_2}）$，
則$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=（2{m_1}^2-3，4{m_1}-8）（2{m_2}^2-3，4{m_2}-8）$=$4{（{m_1}{m_2}）^2}-6（{m_1}^2+{m_2}^2）+9+16{m_1}{m_2}-32（{m_1}+{m_2}）+64$=$4{（{m_1}{m_2}）^2}-6[{（{m_1}+{m_2}）^2}-2{m_1}{m_2}]+9+16{m_1}{m_2}-32（{m_1}+{m_2}）+64$=$4{（{m_1}{m_2}）^2}-6[{（{m_1}+{m_2}）^2}-2{m_1}{m_2}]+9+16{m_1}{m_2}-32（{m_1}+{m_2}）+64=-100$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，向量在解析幾何中的應用，考查韋達定理以及判別式，直線與曲線相切的應用，考查轉化思想以及計算能力．