Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4．
（I）已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（5，π），求過點(diǎn)A且與曲線C相切的直線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)B的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)△OMN的面積最大時(shí)，求直線MN的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （I）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件即可得出．
（II）由題意可設(shè)直線MN的方程為：my=x-3．圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，|MN|=2$\sqrt{4-olwfh6u^{2}}$，可得S_△OMN=$\frac{1}{2}$d|MN|=3$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=16．
點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（5，π），化為直角坐標(biāo)：A（-5，0），
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A的切線方程為：y=k（x+5），即kx-y+5k=0，
∴$\frac{|5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，化為：k²=$\frac{16}{9}$，解得k=$±\frac{4}{3}$，
可得過點(diǎn)A且與曲線C相切的直線的直角坐標(biāo)方程為：y=$±\frac{4}{3}$（x+5）．
（II）由題意可設(shè)直線MN的方程為：my=x-3．
圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
|MN|=2$\sqrt{4-z6te0yq^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{1+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{1+{m}^{2}}}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$d|MN|=3$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$，
令1+m²=k≥1，則m²=k-1．
f（k）=$\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{4k-9}{{k}^{2}}$，f′（k）=$\frac{4{k}^{2}-（4k-9）×2k}{{k}^{4}}$=$\frac{2（9-2k）}{{k}^{3}}$，
可知：當(dāng)k=$\frac{9}{2}$時(shí)，f（k）取得最大值，$f（\frac{9}{2}）$=$\frac{4}{9}$，m²=$\frac{7}{2}$，解得m=$±\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴直線MN的直角坐標(biāo)方程為：$±\frac{\sqrt{14}}{2}$y=x-3．
化為極坐標(biāo)方程：2ρcosθ$±\sqrt{14}$ρsinθ-6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．