Question

11．已知雙曲線C₂與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1具有相同的焦點，則兩條曲線相交四個交點形成四邊形面積最大時雙曲線C₂的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求解面積最大值時的點的坐標，利用焦點坐標，轉化求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：雙曲線C₂與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1具有相同的焦點，可得c=1，
兩條曲線相交四個交點形成四邊形面積最大，設在第一象限的交點為：（m，n），可得S=4mn，
$1=\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}$≥2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}•\frac{{n}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}mn$，當且僅當$\sqrt{3}m=2n$時，mn≤$\sqrt{3}$，此時四邊形的面積取得最大值，
解得m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得雙曲線的實軸長2a=$\sqrt{（\sqrt{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{9+4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
雙曲線的離心率為：$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．