Question

2．已知A、B為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，點P在E上，在△APB中，tanA=$\frac{1}{3}$，tanB=$\frac{3}{4}$，則E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用直線的斜率公式與角的正切值的關(guān)系，求得P坐標代入橢圓方程，即可求得a與b的關(guān)系，求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)A（-a，0），B（a，0），P（x，y），（m＞0，n＞0），
由△APB中，tanA=$\frac{1}{3}$，tanB=$\frac{3}{4}$，
可得直線PA的斜率為$\frac{y}{x+a}$=$\frac{1}{3}$，
直線PB的斜率為$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{3}{4}$，
解得：x=$\frac{5}{13}$a，y=$\frac{6}{13}$a，
將P（$\frac{5}{13}$a，$\frac{6}{13}$a）代入橢圓方程，可得：$\frac{25{a}^{2}}{169{a}^{2}}$+$\frac{36{a}^{2}}{169^{2}}$=1，
化簡可得$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=4，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選C．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用直線的斜率公式和點滿足橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．