（2013•鎮(zhèn)江二模）已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=
2
，|
b
|=1，且對一切實數(shù)x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|恒成立，則
a
與
b
的夾角大小為
3π
4
3π
4
．
分析：由已知|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|利用模的計算公式得
a
2+2x
a
•
b
+x2
b
2
≥
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，化為x2
b
2+2x
a
•
b
-2
a
•
b
-
b
2≥0，即x2+2
2
xcos＜
a
，
b
＞-2
2
cos＜
a
，
b
＞-1≥0，
由于對一切實數(shù)x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|（即上式）恒成立，必須滿足△=(2
2
cos＜
a
，
b
＞)2+4(2
2
cos＜
a
，
b
＞+1)≤0，解出即可．
解答：解：由|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|得
a
2+2x
a
•
b
+x2
b
2
≥
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，化為x2
b
2+2x
a
•
b
-2
a
•
b
-
b
2≥0，
∵|
b
|=1，|
a
|=
2
．
∴x2+2
2
xcos＜
a
，
b
＞-2
2
cos＜
a
，
b
＞-1≥0，
∵對一切實數(shù)x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|（即上式）恒成立，
∴△=(2
2
cos＜
a
，
b
＞)2+4(2
2
cos＜
a
，
b
＞+1)≤0，化為(2
2
cos＜
a
，
b
＞+2)2≤0，
得cos＜
a
，
b
＞=-
2
2
，
∵＜
a
，
b
＞∈[0，π]，∴＜
a
，
b
＞=
3π
4
．
故答案為
3π
4
．
點評：熟練掌握向量模的計算公式、數(shù)量積運算、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知a為正的常數(shù)，函數(shù)f（x）=|ax-x2|+lnx．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)g(x)=
f(x)x
，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，設(shè)A，B分別為橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S1與S2．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為y=
1
3
x，求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)點M在線段AB上運動時，求
S1
S2
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，
1
bn
+bn-1=2(n≥2，n∈N*)．
（1）求b2，b3，猜想數(shù)列{bn}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）設(shè)x=
b
n
n
，y=
b
n+1
n
，比較xx與yy的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=
3+i1+i
對應(yīng)的點在第
四
四
象限．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）設(shè)全集U=R，集合A={x|-1≤x≤3}，B={x|x＞1}，則A∩?UB
{x|-1≤x≤1}
{x|-1≤x≤1}
．

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