已知拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:設(shè)而不求,可設(shè)出對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱,可以設(shè)直線PQ的方程為y=x+b,由于P、Q兩點(diǎn)存在,所以方程組
y=x+b
y=ax2-1
有兩組不同的實(shí)數(shù)解,利用中點(diǎn)在直線上消去參數(shù)b,建立關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系,求出變量a的范圍.
解答:解:設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩相異點(diǎn)為P(x1,y1)、Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)為M(x0,y0),設(shè)
直線PQ的方程為y=x+b,由于P、Q兩點(diǎn)存在,
所以方程組
y=x+b
y=ax2-1
有兩組不同的實(shí)數(shù)解,即得方程ax2-x-(1+b)=0.①
判別式△=1+4a(1+b)>0.②
由①得x0=
x1+x2
2
=
1
2a
,y0=x0+b=
1
2a
+b.
∵M(jìn)∈l,∴0=x0+y0=
1
2a
+
1
2a
+b,
即b=-
1
a
,代入②解得a>
3
4

故實(shí)數(shù)a的取值范圍(
3
4
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,以及對(duì)稱問題,屬于難題,有一定的計(jì)算量.
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A、(
3
,   2
3
)
B、(
3
,   +∞)
C、(0,   
3
)
D、(2,   2
3
)

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1
8
1
8

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