Question

6．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sinθ．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為參數(shù)方程：
（Ⅱ）如果過曲線C上一點M且斜率為-$\sqrt{3}$的直線與直線l：y=-x+6交于點Q，那
么當|MQ|取得最小值時，求M點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²化為普通方程，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程即可．
（Ⅱ）設(shè)斜率為$-\sqrt{3}$的直線與l的夾角為γ（定值），M到l的距離為d，令$M（\sqrt{2}cosα\;，\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα）$，則$d=\frac{{|2sin（α+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}-6|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函數(shù)的有界限求解最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}sinθ$，∴${ρ^2}=2\sqrt{2}ρsinθ$，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴曲線C的普通方程為${x^2}+{y^2}-2\sqrt{2}y=0$，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅱ）方法一：設(shè)斜率為$-\sqrt{3}$的直線與l的夾角為γ（定值），M到l的距離為d，
則 $|MQ|=\fraccuc4ois{sinγ}$，所以d取最小值時，|MQ|最�。�
令$M（\sqrt{2}cosα\;，\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα）$，則$d=\frac{{|2sin（α+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}-6|}}{{\sqrt{2}}}$，
當$α=\frac{π}{4}$時，d最小．
∴點M的坐標為$M（1，\sqrt{2}+1）$．
（Ⅱ）方法二：設(shè)斜率為$-\sqrt{3}$的直線與l的夾角為γ（定值），M到l的距離為d，
則 $|MQ|=\fraciuc6wia{sinγ}$，
∴d取最小值時，|MQ|最小．
∴，M是過圓心垂直于l的直線$y=x+\sqrt{2}$與圓（靠近直線l端）的交點．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{（y-\sqrt{2}）^2}=2\;\\ y=x+\sqrt{2}\;\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\;\\ y=\sqrt{2}+1\;\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\;\\ y=\sqrt{2}-1\;\end{array}\right.$（舍去）．
∴點M的坐標為$M（1，\sqrt{2}+1）$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程的互化，以及應用，直線參數(shù)方程的幾何意義的運用．屬于中檔題．