Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0       
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂） 成立；則稱函數(shù)f（x）為?函數(shù)．下面有三個命題：
（1）若函數(shù)f（x）為?函數(shù)，則f（0）=0； 
（2）函數(shù)f（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是?函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）是?函數(shù)，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀；         
其中真命題是

 

．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，令x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0，由此可證f（0）=0；
（2）f（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①f（x）≥0，也滿足條件②f（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，滿足條件③，從而得證f（x）是?函數(shù)；
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）∵對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0，
又x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂） 成立，
∴取x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
∴f（0）=0，即（1）正確；
（2）顯然f（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①f（x）≥0；
也滿足條件②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]
=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]
=2x1+x2-2x1-2x2+1
=（2x2-1）（2x1-1）≥0，即滿足條件③，
故g（x）是?函數(shù)，即（2）正確；
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若x₀＜f（x₀），則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若x₀＞f（x₀），則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀，即（3）正確；
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，細心挖掘題設(shè)中的隱含條件，考查等價轉(zhuǎn)化思想與抽象思維、邏輯思維能力，屬于難題．