【題目】已知θ為向量 與 的夾角,| |=2,| |=1,關(guān)于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有實(shí)根.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)f(θ)=sin(2θ+ )的最值及對(duì)應(yīng)的θ的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵θ為向量 與 的夾角,| |=2,| |=1,關(guān)于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有實(shí)根.
∴△= ﹣4 =4﹣421cosθ≥0,∴cosθ≤ ,∴θ∈[ ,π].
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,函數(shù)f(θ)=sin(2θ+ ),
∵θ∈[ ,π],∴2θ+ ∈[π, ],故當(dāng)2θ+ = 時(shí),即θ= 時(shí),函數(shù)f(θ)取得最小值為﹣1;
當(dāng)2θ+ = 時(shí),即θ=π時(shí),函數(shù)f(θ)取得最大值為
【解析】(Ⅰ)由題意根據(jù)△=4﹣421cosθ≥0,求得cosθ的范圍,可得θ的范圍.(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,函數(shù)f(θ)=sin(2θ+ ),再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(θ)=sin(2θ+ )的最值及對(duì)應(yīng)的θ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了準(zhǔn)確地把握市場,做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃,對(duì)過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第年與年銷量(單位:萬件)之間的關(guān)系如表:
1 | 2 | 3 | 4 | |
12 | 28 | 42 | 56 |
(Ⅰ)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中的散點(diǎn)圖擬合與的回歸模型,并用相關(guān)系數(shù)甲乙說明;
(Ⅲ)建立關(guān)于的回歸方程,預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為多少?.
附注:參考數(shù)據(jù): , , .
參考公式:相關(guān)系數(shù),
回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,曲線的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),求證: ;
(3)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OAB是一塊半徑為1,圓心角為 的扇形空地.現(xiàn)決定在此空地上修建一個(gè)矩形的花壇CDEF,其中動(dòng)點(diǎn)C在扇形的弧 上,記∠COA=θ.
(Ⅰ)寫出矩形CDEF的面積S與角θ之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)角θ取何值時(shí),矩形CDEF的面積最大?并求出這個(gè)最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和,且.
(Ⅰ)求數(shù)列通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在等比數(shù)列,使對(duì)一切正整數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論.
(Ⅲ)設(shè)(),且數(shù)列的前項(xiàng)和為,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為米圓心角為(弧度)的扇形景觀水池,其中為扇形的圓心,同時(shí)緊貼水池周邊建一圈理想的無寬度步道,要求總預(yù)算費(fèi)用不超過萬元,水池造價(jià)為每平方米元,步道造價(jià)為每米元.
(1)當(dāng)和分別為多少時(shí),可使廣場面積最大,并求出最大值;
(2)若要求步道長為米,則可設(shè)計(jì)出水池最大面積是多少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值 ;
(2)若是函數(shù)圖象上不同的三點(diǎn),且,試判斷與之間的大小關(guān)系,并證明 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計(jì)算得,,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4,0.997 416≈0.959 2,.
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