Question

【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b值；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在 上單調(diào)遞增；
（3）求函數(shù)[1，+∞）上f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù) 是奇函數(shù)，則f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0．

又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），∴ ，∵b=0，∴a=2

（2）解：由題意可得 ，

任取 ，并設(shè)x1＜x2，

則 ，∵ 且x1＜x2 ，

∴ ，1﹣2x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在 上單調(diào)遞增

（3）解：由（2）知f（x）在 上單調(diào)遞增，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）在[1，+∞）上的值域?yàn)閇f（1），+∞），即[3，+∞）

【解析】（1）根據(jù)f（﹣x）=﹣f（x）求得b的值，根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），求得a的值．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在 上單調(diào)遞增．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在[1，+∞）上的值域．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．