Question

設(shè)方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0．
（1）當(dāng)且僅當(dāng)m在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓；
（2）當(dāng)m在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求半徑最大的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0可變?yōu)椋篬x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要得到方程為圓，
則要-7m²+6m+1大于0；如果-7m²+6m+1大于0得到方程為圓，所以得到m的范圍即可．
（2）可設(shè)n=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范圍中，利用二次函數(shù)求最值的方法求出半徑的最大值即可．

解答：解：（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
變形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要使方程表示圓，
則需要-7m²+6m+1＞0；如果-7m²+6m+1＞0，則得到方程表示圓；
所以當(dāng)且僅當(dāng)-7m²+6m+1＞0即-

1

7

＜m＜1時(shí)，該方程表示一個(gè)圓；
（2）在-

1

7

＜m＜1時(shí)，設(shè)r²=-7m²+6m+1，為開(kāi)口向下的拋物線，
當(dāng)m=

3

7

時(shí)，r²最大為

16

7

．
所以圓的方程為(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)找方程表示圓時(shí)的條件，會(huì)求二次函數(shù)的最大值，會(huì)根據(jù)已知條件表示圓的一般方程．同時(shí)讓學(xué)生理解當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)意義．