Question

設方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一個圓．
（1）求m的取值范圍；
（2）m取何值時，圓的半徑最大？并求出最大半徑；
（3）求圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用D²+E²-4F＞0，可得不等式，解不等式可求m的取值范圍；
（2）對圓的半徑表達式配方，可求圓的半徑最大值；
（3）用參數(shù)表示出圓心坐標，消去參數(shù)，可得圓心的軌跡方程．

解答：解：（1）由D²+E²-4F＞0得：4（m+3）²+4（1-4m²）²-4（16m⁴+9）＞0，（2分）
化簡得：7m²-6m-1＜0，解得-

1

7

＜m＜1．（4分）
所以m的取值范圍是（-

1

7

，1）（5分）
（2）因為圓的半徑r=

1

2

D2+E2-4F

=

-7m2+6m+1

=

-7(m- 3 7 )2+ 16 7

，（7分）
所以，當m=

3

7

時，圓的半徑最大，最大半徑為rmax=

4 7

7

．（9分）
（3）設圓心C（x，y），則

x=m+3 y=4m2-1

消去m得，y=4（x-3）²-1．（12分）
因為-

1

7

＜m＜1，所以

20

7

＜x＜4．（13分）
故圓心的軌跡方程為y=4（x-3）²-1（

20

7

＜x＜4）．（14分）

點評：本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查配方法的運用，確定圓心坐標與半徑是關鍵．