Question

已知函數(shù)f（x）=mx+

1

nx

+

1

2

（m，n是常數(shù)），且f（1）=2，f（2）=

11

4

．
（1）求m，n的值；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若不等式f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)條件得到參數(shù)的兩個(gè)方程，解方程組得到本題結(jié)論；（2）利用函數(shù)單調(diào)定義加以證明，得到本題結(jié)論；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，得到相應(yīng)的自變量的大小關(guān)系，解不等式得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f(1)=m+

1

n

+

1

2

=2f(2)=2m+

1

2n

+

1

2

=

11

4

，
∴

m=1 n=2

．
（2）結(jié)論：f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．下面證明．
證明：設(shè)1≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

2x1

+

1

2

-(x2+

1

2x2

+

1

2

)
=(x1-x2)(1-

1

2x1x2

)
=(x1-x2)(

2x1x2-1

2x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴2x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∴只須1+2x²＞x²-2x+4，
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是：x＜-3或x＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式、函數(shù)的單調(diào)性定義和應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．