Question

已知函數f （x）=2x²+x-k，g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時，g（x）取得極值-2．
（1）求函數g（x）的單調區(qū)間和極大值；
（2）若對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求實數k的取值范圍；
（3）若對任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，
∴g（-x）=g（x），可得b=d=0，即g（x）=ax³+cx（a≠0），
又當x=1時，g（x）取得極值-2，∴，即，
解得，故函數g（x）=x³-3x，導函數g′（x）=3x²-3，
令3x²-3=0解得x=±1，當x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
當x∈（-1，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
故當x=-1時，f（x）取到極大值f（-1）=2
（2）f（x）-g（x）=2x²+4x-k-x³，對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
只需k≥2x²+4x-x³，構造函數F（x）=2x²+4x-x³，x∈[-1，3]，F′（x）=-3x²+4x+4，
令]，F′（x）=0可得x=2或x=-，當x∈（-1，）時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減
當x∈（，2）時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，當x∈（2，3）時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，
當x=2時，F（x）取到極大值F（2）=8，F（-1）=-1，故F（x）的最大值為8，
故實數k的取值范圍為：k≥8；
（3）若對任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
即f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，
由（1）可知：當x∈[-1，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x∈（1，3]時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，故當x=1時，函數g（x）取到極小值，
也是該區(qū)間的最小值f（1）=-2，
而f （x）=2x²+x-k為開口向上的拋物線，對稱軸為x=，故當x=3時取最大值f（3）=21-k，
由21-k≤-2，解得k≥23
分析：（1）由奇函數可得b=d=0，代入可得函數g（x）的解析式，由導數的正負易得單調區(qū)間，進而得極值；
（2）對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，只需k≥2x²+4x-x³，構造函數F（x）=2x²+4x-x³，x∈[-1，3]，由導數法可得函數的最大值，可得答案；
（3）對任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，即f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，只需求其最小值即可．
點評：本題為函數導數的綜合應用，涉及函數的極值最值和恒成立問題，屬中檔題．